Паўпрамы здабытак — канструкцыя ў тэорыі груп, якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах і , і дзеянні групы на групе аўтамарфізмамі.

Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп

Паўпрамы здабытак груп і над звычайна абазначаецца .

КанструкцыяПравіць

Няхай зададзена дзеянне групы   на прасторы групы   з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены гомамарфізм   групы   у групу аўтамарфізмаў групы  . Аўтаморфізм групы  ., які адпавядае элементу   з   пры гомамарфізме  . пазначым  . У якасці групы   — паўпрамога здабытку груп   і   над гомамарфізмам   — бярэцца мноства   з бінарнай аперацыяй  , што дзейнічае па правілу:

  для любых  ,  .

УласцівасціПравіць

  1. Групы   і   натуральна ўкладзеныя ў  , прычым   — нармальная падгрупа ў  .
  2. Кожны элемент   адназначна раскладаем у здабытак  , дзе   і   — элементы груп   і   адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы   як паўпрамога здабытку груп   м  .)
  3. Зададзенае дзеянне   групы   на групе   супадае з дзеяннем   на   спалучэннямі (у групе  ).

Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе   (уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).

ЛітаратураПравіць

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.