G2 (матэматыка)

	Група, алгебра
Асноўныя паняцці
	Падгрупа; Нармальная падгрупа; Фактаргрупа ; (паў-)Прамы здабытак;
Тапалагічныя групы
	Група Лі; Артаганальная група O(n); Спецыяльная ўнітарная група SU(n); G2 F4 E6 E7 E8; Група Лорэнца; Група Пуанкарэ;

У матэматыцы G₂ — назва некалькіх груп Лі і звязанай з імі алгебры Лі ${\mathfrak {g}}_{2}$ . Гэта найменшая з пяці асаблівых простых груп Лі. G₂ мае ранг 2 і размернасць 14. Усе яе нетрывіяльныя канечнамерныя лінейныя прадстаўленні з’яўляюцца дакладнымі. Найбольш простае прадстаўленне 7-мернае і з’яўляецца фундаментальным прадстаўленнем, якое адпавядае кароткаму кораню сістэмы каранёў G₂.

Кампактная форма G₂ з’яўляецца групай аўтамарфізмаў алгебры актаніёнаў (актаў). Яе можна таксама разглядаць як падгрупу групы SO(7), якая пакідае на месцы фіксаваны 8-мерны спінар (у яе спінарным прадстаўленні).

Рэалізацыі

Існуюць 3 простыя рэчаісныя алгебры Лі, асацыяваныя з дадзенай сістэмай каранёў:

Рэчаісная алгебра Лі, якая ляжыць у аснове комплекснай алгебры Лі G₂, 28-мерная і адназвязная. Комплекснае спалучэнне з’яўляецца яе вонкавым аўтамарфізмам. Максімальная кампактная падгрупа асацыяванай з гэтай алгебрай групы і ёсць кампактная форма G₂.
Алгебра Лі ў кампактнай форме мае размернасць 14. Асацыяваная група Лі не мае знешніх аўтамарфізмаў, цэнтра і з’яўляецца адназвязнай і кампактнай.
Алгебра Лі ў некампактнай (падзеленай) форме змяшчае 14 вымярэнняў. Асацыяваная простая група Лі мае фундаментальную групу 2 парадку, а яе група знешніх аўтамарфізмаў — трывіяльная група. Яе максімальная кампактная падгрупа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для дадзенай групы існуе неалгебраічная падвойная універсальная накрывальная група (адназвязная).

Алгебраічныя ўласцівасці

Сістэма каранёў G₂

Нягледзячы на тое, што каранёвыя вектары можна размясціць у 2-мернай прасторы, больш сіметрычным выглядае іх выраз трыма каардынатамі, сума якіх роўная нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1),

(0,1,−1), (0,−1,1),

(2,−1,−1), (−2,1,1),

(1,−2,1), (−1,2,−1),

(1,1,−2), (−1,−1,2),

і простыя дадатныя каранёвыя вектары

(0,1,−1), (1,−2,1).

Група Вейля/Кокстэра

Для алгебры G₂ гэта — група дыэдра D₁₂ 12 парадка.

Матрыца Картана

{\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}

Спецыяльныя галаноміі

G₂ — адна з тых спецыяльных груп, якія могуць быць групамі галаноміі рыманавай метрыкі. Разнастайнасці, якія валодаюць G₂-галаноміяй, называюцца G₂-разнастайнасцямі.

Спасылкі

en:John Baez, The Octonions, Section 4.1: G₂, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. Анлайн HTML версія.