Адкрыць галоўнае меню

Трыганаметрычныя функцыі

(Пасля перасылкі з Сінус)
Графікі трыганаметрычных функцый:      сінуса      косінуса      тангенса      катангенса      секанса      касеканса

Трыганаметры́чныя фу́нкцыіэлементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:

прамыя трыганаметрычныя функцыі
  • сінус ()
  • косінус ()
вытворныя трыганаметрычныя функцыі
  • тангенс ()
  • катангенс ()
іншыя трыганаметрычныя функцыі
  • секанс ()
  • касеканс ()

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца .

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах , а катангенс і касеканс — у пунктах .

Спосабы вызначэнняПравіць

Геаметрычнае азначэннеПравіць

Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольнікаПравіць

 
Прамавугольны трохвугольнік

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай OAB — трохвугольнік з вуглом α. Тады:

  • Сінусам вугла   называецца дзель   (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
  • Косінусам вугла   называецца дзель   (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
  • Тангенсам вугла   называецца дзель   (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
  • Катангенсам вугла   называецца дзель   (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
  • Секансам вугла   называецца дзель   (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
  • Касекансам вугла   называецца дзель   (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце O, напрамкам восі абсцыс уздоўж OA і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасціПравіць

 
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла   ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат

Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса R з цэнтрам у пачатку каардынат O. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня OB. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта B абазначым  , ардынату —  .

  • Сінусам называецца дзель  
  • Косінусам называецца дзель  
  • Тангенс вызначаецца як  
  • Катангенс вызначаецца як  
  • Секанс вызначаецца як  
  • Касеканс вызначаецца як  

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці R дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце  , а косінус — абсцысе  . На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі  рэчаісны лік, то сінусам   ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная  , гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняўПравіць

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

 

з пачатковымі ўмовамі

 

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

 
 

Як рашэнні функцыянальных ураўненняўПравіць

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні (  і   адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

 

Праз радыПравіць

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

 
 

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

 

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

 
 
 
 

дзе

 лікі Бернулі,
 лікі Эйлера.

Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоўПравіць

  Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

  0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
                 
                 
                 
                 
                 
                 
 
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.


Уласцівасці трыганаметрычных функцыйПравіць

Найпрасцейшыя тоеснасціПравіць

  Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя тоеснасці

Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

 

Гэта роўнасць называецца асноўнаю трыганаметрычнаю тоеснасцю.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

 
 

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

 

НепарыўнасцьПравіць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву   катангенс і касеканс —  

ЦотнасцьПравіць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

 
 
 
 
 
 

ПерыядычнасцьПравіць

Функцыі        перыядычныя з перыядам  , функцыі   і   — з перыядам  .

Формулы прывядзенняПравіць

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

 
 
 
 

Тут   — любая трыганаметрычная функцыя,   — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), nцэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

 

Некаторыя формулы прывядзення:

               
               
               
               
               

Формулы складанняПравіць

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

 
 
 
 

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

 
 

Формулы для кратных вуглоўПравіць

Формулы двайнога вугла:

 
 
 
 

Формулы трайнога вугла:

 
 
 
 

Іншыя формулы для кратных вуглоў:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

 
 
 
 

дзе  цэлая частка ліку  ,  біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

 
 
 
 
 
 

ЗдабыткіПравіць

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

 
 
 
 
 
 

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

 
 
 
 

Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

СтупеніПравіць

   
   
   
   
   
   

СумыПравіць

 
 
 
 
 
 

Для функцый ад аргумента   існуе прадстаўленне:

 

дзе вугал   вызначаецца з суадносін:

 

Аднапараметрычнае прадстаўленнеПравіць

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

 

 

 

 

 

 

Вытворныя і першаісныяПравіць

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

 

 

 

 

 

 

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

 

 

 

 

 

 

Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнайПравіць

АзначэннеПравіць

Формула Эйлера:

 

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

 
 
 
 
 
 

дзе  

Адпаведна, для рэчаіснага x,

 
 

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

 
 

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

  • камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
  • усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

Камплексныя графікіПравіць

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці
           

Гісторыя назваўПравіць

  Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
  • Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
  • Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

СпасылкіПравіць