Вікіпедыя

Фрактал

У матэматыцы фрактал (лац.: fractus — дроблены, зламаны, разбіты) — гэта падмноства эўклідавай прасторы з фрактальнай памернасцю (у сэнсе Мінкоўскага або Хаўсдорфа), якая строга перавышае яе тапалагічную памернасць. Фракталы выглядаюць аднолькава ў розных маштабах, як паказана ў паслядоўных павелічэннях мноства Мандэльброта. [1] [2] [3] [4] Фракталы дэманструюць падобныя ўзоры ва ўсё меншых маштабах. Гэта ўласцівасць, званая самападабенствам, таксама вядомая як пашыраючаяся сіметрыя або сіметрыя разгортвання. Калі такое падабенства абсалютна аднолькавае ў кожным маштабе, як у губкі Менгера [5], яно называецца афінным самападабенствам. Фрактальная геаметрыя ляжыць у рамках матэматычнай галіны тэорыі меры.

Набор Мандэльброта
Прагляд набору Мандэльброта у прыбліжэнні

Адным са спосабаў адрознення фракталаў ад канчатковых геаметрычных фігур з’яўляецца іх маштабаванне. Падваенне даўжыні краю шматвугольніка памнажае яго плошчу на чатыры, што складае два (адносіны даўжыні новай да старой стараны) у ступені два (памернасць прасторы, у якой знаходзіцца шматкутнік). Калі радыус сферы павялічыцца ўдвая, яе аб’ём павялічыцца ў восем разоў, што роўна два (адносіны новага радыусу да старога) у ступені тры (вымярэнне, у якім знаходзіцца сфера). Аднак, калі ўсе аднамерныя даўжыні фрактала падвоіць, плошча або аб’ём фракталу павялічыцца ў ступені, якая не абавязкова з’яўляецца цэлым лікам. [1] Гэтая ступень называецца фрактальнай памернасцю фрактала, і яна звычайна перавышае тапалагічную памернасць фрактала. [6]

Аналітычна большасць фракталаў не дыферэнцыруюцца канечным лікам бакоў. [1] [4] Бясконцая фрактальная крывая можа ўяўляцца як лінія ў прасторы, што праходзіць інакш, чым прамая лінія, — хоць яна па-ранейшаму з’яўляецца тапалагічна 1-мернай, яе фрактальная памернасць паказвае, што яна таксама нагадвае паверхню. [1] [6]

Дыван Сярпінскага (да ўзроўню 6), фрактал з тапалагічным памерам 1 і памернасцю Хаўсдорфа 1,893

Пачынаючы з 17-га стагоддзя з паняццямі рэкурсіі, фракталы прайшлі праз больш строгую матэматычную апрацоўку і вывучэнне бесперапынных, але не дыферэнцыруемых функцый у 19-м стагоддзі дзякуючы працам Бернарда Бальцана, Бернхарда Рымана і Карла Вейерштраса. [7] Слова «фрактал» увёў Бенуа Мандэльброт у 1975 годзе і выкарыстаў яго для пашырэння паняцця тэарэтычных дробавых памераў на геаметрычныя ўзоры ў прыродзе. Яно стала шырока вядома з выхадам у 1977 годзе яго кнігі «Фрактальная геаметрыя прыроды». З развіццём вылічальнай тэхнікі з’явілася магчымасць больш хуткага графічнага выяўлення фракталаў. [8] [9]

Сярод матэматыкаў існуюць некаторыя рознагалоссі наконт таго, як павінна быць фармальна вызначана паняцце фрактала. Сам Мандэльброт рэзюмаваў гэта як «прыгожае, надзвычай цяжкае, усё больш карыснае. Гэта фракталы». [10] Больш фармальна, у 1982 годзе Мандэльброт вызначыў фрактал наступным чынам: «Фрактал — гэта мноства, для якога памернасць Хаўсдорфа-Безіковіча строга перавышае тапалагічную памернасць». [11] Пазней, лічачы гэта занадта абмежавальным, ён спрасціў і пашырыў вызначэнне да наступнага: «Фрактал — гэта форма, складзеная з частак, у нечым падобных да цэлага». [12] Яшчэ пазней Мандэльброт прапанаваў «выкарыстоўваць фрактал без педантычнага вызначэння, выкарыстоўваць фрактальную памернасць у якасці агульнага тэрміна, які ўжываецца да ўсіх варыянтаў». [13]

Сярод матэматыкаў адзіны кансэнсус заключаецца ў тым, што тэарэтычныя фракталы — гэта бясконца самападобныя, паўтараючыяся і дэталёвыя матэматычныя структуры, якія маюць фрактальныя памеры, прыкладаў якіх было сфармулявана і вывучана шмат.

Фракталам можа называцца прадмет, які праяўляе, па меншай меры, адну з наступных уласцівасцяў:

  • Мае нетрывіяльную структуру на ўсіх маштабах. Пры набліжэнні ў маштабе да звычайных фігур: акружнасці, эліпсу, графіку гладкай функцыі — фрагмент фігуры будзе нагадваць фрагмент прамой. Для фрактала павелічэнне маштабу не вядзе да спрашчэння структуры, і ва ўсіх маштабах бачна аднолькава складаная выява.
  • З’яўляецца самападобным або прыблізна самападобным.
  • Мае дробавую метрычную памернасць або памернасць, якая перавышае тапалагічную памернасць.

Прыклады аб’ектаў у прыродзе, што маюць уласцівасці фрактала: узбярэжжа, аблокі, кроны дрэў, сняжынкі, сістэма кровазвароту, альвеолы і інш. Фракталы не абмяжоўваюцца геаметрычнымі ўзорамі, але таксама могуць апісваць працэсы ў часе. Фрактальныя ўзоры з рознай ступенню самападабенства былі апрацаваны або вывучаны ў візуальных, фізічных і слыхавых носьбітах і знойдзены ў тэхналогіях, мастацтве, архітэктуры [14] і праве. Фракталы маюць асаблівае значэнне ў галіне тэорыі хаосу, таму што графікі большасці хаатычных працэсаў з’яўляюцца фракталамі. Многія рэальныя і мадэльныя сеткі маюць фрактальныя асаблівасці, такія як самападабенства.

Уводзіны правіць

 
Простае фрактальнае дрэва
 
Фрактальнае «дрэва» пабудаванае да адзінаццаці ітэрацый

Слова «фрактал» часта нясе розныя сэнсы для непрафесіяналаў і матэматыкаў. Грамадскасць звычайна больш знаёмая з фрактальным мастацтвам, чым з матэматычным паняццем. Для спрашчэння разумення мы будзем апісваць паняцце па яго ключавых рысах, не па яго навуковым вызначэнні.


Так, рысу «самападабенства» лёгка зразумець па аналогіі з павелічэннем з дапамогай аб’ектыва або іншай прылады, якая павялічвае лічбавыя выявы, каб выявіць больш тонкія, раней нябачныя новыя прыкметы. Калі гэта робіцца на фракталах, новыя дэталі не з’яўляюцца; нічога не мяняецца, і амаль адна і тая ж карціна паўтараецца зноў. Самападабенства само па сабе не абавязкова з’яўляецца супрацьінтуітыўным (так, людзі разважалі аб самападабенстве нефармальна, напрыклад, у бясконцым шэрагу адлюстраванняў у паралельных люстэрках, або ў Гамункуле, маленькім чалавеку ў галаве маленькага чалавека ў галаве…). Розніца для фракталаў заключаецца ў тым, што выяўлены ўзор павінен быць дэталізаваны. [1] [2] [15]

Гэтая ідэя дэталізацыі звязана з іншай рысай, якую можна зразумець без спецыяльнай матэматычнай падрыхтоўкі. Фрактальная памернасць, большая за тапалагічную памернасць, значыць, што фрактал маштабуецца троху інакш, чым звычайныя геаметрычныя фігуры. Прамая лінія, напрыклад, звычайна разумеецца як аднамерная; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожны памерам 1/3 даўжыні арыгінала, то заўсёды застаецца тры роўныя часткі. Суцэльны квадрат разумеецца як двухмерны; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожная паменшаная ў 1/3 у абодвух вымярэннях, агулам атрымаецца 3² = 9 частак.

Мы бачым, што для звычайных самападобных аб’ектаў n-мернасць азначае, што, калі іх разбіваць на кавалкі, кожны з якіх памяншаецца на каэфіцыент 1/r, агулам застаецца rn частак. Разгледзім крывую Коха. Яе можна разбіць на чатыры часткі, кожная у маштабе 1/3. Такім чынам, строга па аналогіі, мы можам разглядаць «памернасць» крывой Коха як сапраўдны лік D, які задавальняе 3D = 4. Матэматыкі называюць гэты лік фрактальнай памернасцю крывой Коха. Вядома, гэта не тое, што звычайна ўспрымаецца як памернасць крывой (гэты лік нават не цэлы!). Так, крывая Коха мае фрактальную памернасць, якая адрозніваецца ад яе звычайна зразумелай памернасці (або яе тапалагічнай памернасці), і гэта вызначае яе як фрактал.

 
Крывая Коха.
 
3D фрактал, згенераваны камп’ютарам

Гэта таксама прыводзіць да разумення трэцяй асаблівасці, што фракталы як матэматычныя ўраўненні «нідзе не дыферэнцыруюцца». У канкрэтным сэнсе гэта азначае, што традыцыйныя спосабы вымярэння недастатковыя для фракталаў. [1] [4] Спрабуючы вылічыць даўжыню хвалістай нефрактальнай крывой, можна знайсці прамыя адрэзкі нейкага вымяральнага інструмента, дастаткова малыя, каб палажыць іх упрытык да хваляў. Кавалкі могуць быць дастаткова малымі, каб лічыцца шчыльна і дакладна дапасаванымі да хвалістай крывой, падобна да звычайнага спосабу вымярэння рулеткай.

Пры вымярэнні бясконца «хілістай» фрактальнай крывой, такой як сняжынка Коха, ніколі не знойдзецца досыць малы прамы адрэзак, каб адпавядаць крывой. Няроўны ўзор заўсёды будзе з’яўляцца зноўку, у як заўгодна малых маштабах. Гэты ўзор кожны раз будзе цягнуць больш і больш рулеткі ў агульную даўжыню, калі вы паспрабуеце прыкласці рулетку ўсё шчыльней і шчыльней да крывой. У выніку спатрэбіцца бясконцая стужка, каб ідэальна пакрыць усю крывую, г. зн. сняжынка мае бясконцы перыметр. [1]

Гісторыя правіць

 
Сняжынка Коха — гэта фрактал, які пачынаецца з роўнабаковага трохвугольніка, а затым замяняе сярэднюю траціну кожнага адрэзка прамой парай адрэзкаў, якія ўтвараюць роўнабаковы выступ
 
Траічны набор Кантара.
 
Мноства Жуліа, фрактал, звязаны з мноствам Мандэльброта
 
Сурвэтку Сярпінскага можна стварыць з дапамогай фрактальнага дрэва.

У 1904 годзе Хельге фон Кох, пашыраючы ідэі Пуанкарэ і незадаволены абстрактным і аналітычным вызначэннем Вейерштраса, даў больш геаметрычнае вызначэнне, уключаючы намаляваныя ад рукі выявы падобнай функцыі, якая цяпер называецца сняжынкай Коха. [8]:25 [9] У 1915 годзе Вацлаў Сярпінскі пабудаваў свой знакаміты трохкутнік, а праз год — дыван. Да 1918 г. два французскія матэматыкі, П’ер Фату і Гастон Жуліа, хоць і працавалі незалежна адзін ад аднаго, па сутнасці, адначасова прыйшлі да вынікаў, якія апісваюць тое, што цяпер разглядаецца як фрактальныя паводзіны, звязаныя з адлюстраваннем комплексных лікаў і ітэрацыйных функцый. Гэтыя фрактальныя рысы падказалі далейшыя ідэі аб атрактарах і рэпелерах (г. зн. кропках, якія прыцягваюць або адштурхваюць іншыя кропкі), якія сталі наступнай вехай у вывучэнні фракталаў. [4] [8] [9]

Неўзабаве пасля таго, як гэтая праца была прадстаўлена, у сакавіку 1918 года Фелікс Хаўсдорф пашырыў вызначэнне «размернасці», істотна для эвалюцыі вызначэння фракталаў, каб дазволіць мноствам мець нецэлалікі памер. [9] Ідэю самападобных крывых удасканаліў Поль Леві, які ў сваёй працы 1938 года «Крывыя і паверхні ў плоскасці або прасторы, якія складаюцца з частак, падобных да цэлага», апісаў новую фрактальную крывую — крывую Леві C.

 
Дзіўны атрактар, які дэманструе мультыфрактальнае маштабаванне
 
Раўнамерны фрактал трохкутніка з цэнтрам мас
 
Рэкурсіўная ітэрацыйная функцыя 2x 120 градусаў.

Без дапамогі сучаснай камп’ютарнай графікі першыя даследчыкі былі абмежаваныя тым, што маглі адлюстраваць у ручных малюнках. Нялёгка было візуалізаваць прыгажосць і ацаніць некаторыя наступствы многіх выяўленых імі ўзораў. Набор Жуліа можна было ўявіць толькі праз некалькі ітэрацый як вельмі простыя малюнкі. [1] [16] [9] У 1960-х гадах Бенуа Мандэльброт пачаў пісаць пра самападабенства ў такіх артыкулах, як «Даўжыня ўзбярэжжа Брытаніі», «Статыстычная самападобнасць і дробавае вымярэнне», [17] [18] якія пашыралі даследаванні і ідэі, закладзеныя ў ранейшай працы Льюіса Фрая Рычардсана.

У 1975 г. [15] Мандэльброт крышталізаваў сотні гадоў мыслення і матэматычнага развіцця, стварыўшы слова «фрактал». Ён праілюстраваў сваё матэматычнае вызначэнне з дапамогай уражваючых камп’ютарных візуалізацый. Гэтыя выявы, напрыклад, яго кананічны набор Мандэльброта, захапілі думкі матэматычнай супольнасці. Многія выявы былі заснаваныя на рэкурсіі, што прывяло да папулярнага значэння тэрміна «фрактал». [19] [16] [8] [20]

У 1980 годзе Лорэн Карпентэр выступіў з прэзентацыяй на SIGGRAPH, дзе ён прадставіў сваё праграмнае забеспячэнне для стварэння і візуалізацыі фрактальна генераваных ландшафтаў. [21]

Азначэнне і характарыстыкі правіць

Часта цытуецца апісанне, якое Мандэльброт апублікаваў для характарызацыі геаметрычных фракталаў, — гэта «няроўная або фрагментаваная геаметрычная фігура, якую можна падзяліць на часткі, кожная з якіх з’яўляецца (прынамсі прыблізна) паменшанай копіяй цэлага». Хоць гэтае вызначэнне звычайна карыснае, яно абмежаванае. Аўтары разыходзяцца ў меркаванні адносна дакладнага вызначэння фрактала, але часцей за ўсё ўдакладняюць асноўныя ідэі самападабенства і незвычайныя адносіны, якія фракталы маюць з прасторай, дзе яны знаходзяцца. [1]

Навукоўцы згаджаюцца, што фрактальныя ўзоры характарызуюцца фрактальнымі памерамі. Памеры колькасна вызначаюць складанасць — змяненне дэталяў са змяненнем маштабу. Памеры не апісваюць і не вызначаюць дэталяў таго, як пабудаваць канкрэтныя фрактальныя мадэлі. [22] У 1975 годзе, калі Мандэльброт прыдумаў слова «фрактал», ён зрабіў гэта для абазначэння аб’екта, памернасць Хаўсдорфа-Безіковіча якога большая за тапалагічную памернасць. [15] Аднак гэтаму патрабаванню не адпавядаюць крывыя, якія запаўняюць прастору, такія як крывая Гільберта.

З-за праблем, звязаных з пошукам агульнапрымальнага вызначэння для фракталаў, некаторыя сцвярджаюць, што фракталы не павінны быць строга вызначанымі. Паводле Фальконера, фракталы мусяць нідзе не быць дыферэнцыяванымі, мець фрактальную памернасць і характарызавацца гештальтам толькі наступных прыкмет: [2]

  • Самападабенства, якое можа ўключаць у сябе:
  • Дакладнае самападабенства: аднолькавае ва ўсіх маштабах, напрыклад, сняжынка Коха.
  • Квазі-самападабенства: набліжае тую ж карціну ў розных маштабах; можа ўтрымліваць невялікія копіі ўсяго фрактала ў скажоных і выраджаных формах. Напрыклад, спадарожнікі мноства Мандэльброта з’яўляюцца набліжэннямі ўсяго набору, але не дакладнымі копіямі.
  • Статыстычнае самападабенства: паўтарае шаблон стахастычна, так што лікавыя або статыстычныя паказчыкі захоўваюцца ў розных маштабах; напрыклад, выпадкова згенераваныя фракталы, як добра вядомы прыклад берагавой лініі Брытаніі. Для такога падабенства немагчыма знайсці маштабаваны і паўтораны сегмент так жа акуратна, як паўтаральная адзінка у вызначэнні сняжынкі Коха. [4]
  • Якаснае самападабенства: як у часовым шэрагу. [23]
  • Мультыфрактальнае маштабаванне: характарызуецца больш чым адным фрактальным вымярэннем або правілам маштабавання.
  • Тонкая, або дэталёвая структура ў заўгодна малых маштабах. Следствам такой структуры з’яўляецца тое, што фракталы могуць мець раптоўна ўзнікаючыя ўласцівасці, [24] звязаныя з наступным крытэрыем у гэтым спісе.
  • Няправільнасць лакальна і глабальна, якую няпроста апісаць традыцыйнай эўклідавай геаметрычнай мовай. Для выяваў фрактальных узораў гэта выражалася такімі фразамі, як «гладка нагрувашчваючыяся паверхні» і «завітыя на віхуры». [6]Фрактальнае мноства — гэта мноства, для якога фрактальная памернасць (Хаўсдорфа-Безіковіча) строга перавышае тапалагічную памернасць
  • Простыя і, «магчыма, рэкурсіўныя» азначэнні; гл. Распаўсюджаныя метады генерацыі фракталаў.

Як група, гэтыя крытэрыі ўтвараюць кіруючыя прынцыпы для выключэння пэўных выпадкаў, напрыклад тых, якія могуць быць самападобнымі, не маючы іншых тыповых фрактальных асаблівасцяў. Прамая лінія, напрыклад, самападобная, але не фрактальная, таму што яна не мае дэталяў, лёгка апісваецца на эўклідавай мове, мае тую ж памернасць Хаўсдорфа, што і тапалагічная, і цалкам вызначана без неабходнасці рэкурсіі. [1] [4]

Распаўсюджаныя метады генерацыі фракталаў правіць

 
Самападобны шаблон галінавання, змадэляваны на камп’ютары з выкарыстаннем прынцыпаў L-сістэм [25]

Выявы фракталаў могуць быць створаны з дапамогай праграм генерацыі фракталаў. З-за эфекту матылька невялікая змена адной пераменнай можа мець непрадказальны вынік.

  • Сістэмы паўторных функцый (IFS) — выкарыстоўваюць фіксаваныя геаметрычныя правілы замены; могуць быць стахастычнымі або дэтэрмінаванымі; напрыклад, сняжынка Коха, набор Кантара, дыван Хафермана, дыван Сярпінскага, сурвэтка Сярпінскага, крывая Пеана, крывая дракона Хартэра-Хайвэя, Т-квадрат, губка Менгера.
  • Дзіўныя атрактары — выкарыстоўваюць ітэрацыі карты або рашэнні сістэмы дыферэнцыяльных або рознасных ураўненняў з пачатковым значэннем, якія дэманструюць хаос (напрыклад, гл. мультыфрактальны малюнак або лагістычную карту).
  • L-сістэмы — выкарыстоўваюць перапісванне ланцужкоў[en]; могуць нагадваць узоры галінавання, напрыклад, у раслін, біялагічных клетак (напрыклад, нейронаў і клетак імуннай сістэмы), крывяносных сасудаў, структуры лёгкіх і г.д. або узораў «чарапахавай» графікі[en], такіх як крывыя і пліткі, якія запаўняюць прастору.
  • Фракталы часу ўцёкаў — выкарыстоўваюць формулу або рэкурэнтныя суадносіны ў кожнай кропцы прасторы (напрыклад, у комплекснай плоскасці); звычайна квазі-самападобныя; таксама вядомы як фракталы «арбіта»; напрыклад, мноства Мандэльброта, мноства Жуліа, фрактал Burning Ship, фрактал Нова і фрактал Ляпунова. Плоскасцевыя вектарныя палі, створаныя адной або дзвюма ітэрацыямі формул часу ўцёкаў, таксама ўтвараюць фрактальную форму, калі кропкі (або піксельныя дадзеныя) праходзяць праз гэта поле паўторна.
  • Выпадковыя фракталы — выкарыстоўваюць стахастычныя правілы; напрыклад, палёт Леві, кластары перкаляцыі, самапазбягаючыя прагулкі, фрактальныя ландшафты, траекторыі броўнаўскага руху і броўнаўскага дрэва (г. зн. дэндрытныя фракталы, створаныя мадэлямі кластарный агрэгацыі з абмежаванай дыфузіяй або з абмежаванай рэакцыяй).
 
Фрактал, спароджаны правілам канечнага падраздзялення для пераменнага звяна
  • Правілы канечнага падраздзялення — выкарыстоўваюць рэкурсіўны тапалагічны алгарытм для ўдакладнення разрэзаў [26]. Вынік алгарытму адлюстроўвае фігуры, графічна падобныя да працэсу дзялення клетак. [27] Ітэрацыйныя працэсы, якія выкарыстоўваюцца пры стварэнні мноства Кантара, дывана Сярпінскага і барыцэнтрычнага падраздзялення, з’яўляюцца прыкладамі правілаў канечнага падраздзялення.

Мадэляванне фракталаў правіць

Фрактальныя ўзоры мадэляваліся шырока, хоць і ў межах дыяпазону маштабаў, але не бясконца, з-за практычных межаў фізічнага часу і прасторы. Мадэлі могуць мадэляваць тэарэтычныя фракталы або прыродныя з’явы з фрактальнымі асаблівасцямі. Вынікі працэсу мадэлявання могуць быць высокамастацкімі візуалізацыямі, вынікамі для расследавання або эталонамі для фрактальнага аналізу. Выявы і іншыя вынікі мадэлявання звычайна называюць «фракталамі», нават калі яны не маюць строга фрактальных характарыстык, напрыклад, калі можна павялічыць вобласць фрактальнага малюнка, якая не праяўляе ніякіх фрактальных уласцівасцяў. Акрамя таго, яны могуць уключаць разлік або адлюстраванне артэфактаў, якія не з’яўляюцца характарыстыкамі сапраўдных фракталаў.

Змадэляванымі фракталамі могуць быць гукі, [28] лічбавыя выявы, электрахімічныя ўзоры, сутачныя рытмы [29] і г.д. Аднаўленне фрактальных мадэляў у фізічнай 3-мернай прасторы [30]:10 на практыцы часта называецца мадэляваннем «in silico». [31] Мадэлі фракталаў, як правіла, ствараюцца з дапамогай праграмнага забеспячэння для стварэння фракталаў, якое рэалізуе апісаныя вышэй метады. [4] [23] [30] У якасці ілюстрацыі, дрэвы, папараць, клеткі нервовай сістэмы [25], сасуды крыві і лёгкіх [31] і іншыя схемы галінавання ў прыродзе можна змадэляваць на камп’ютары з дапамогай рэкурсіўных алгарытмаў і метадаў L-сістэм. [25]

Рэкурсіўнасць некаторых узораў відавочная ў пэўных прыкладах — галінка з дрэва або лісток папараці з’яўляецца мініяцюрнай копіяй цэлага: не тоеснага, але падобнага па сваёй прыродзе. Аналагічным чынам, выпадковыя фракталы выкарыстоўваліся для апісання / стварэння многіх вельмі нерэгулярных аб’ектаў рэальнага свету. Падабенства фрактальнай мадэлі з прыроднай з’явай не сведчыць аб падабенстве прыроднага працэсу ўтварэння гэтай з’явы да фрактальнага алгарытму.

З’явы прыроды з фрактальнымі асаблівасцямі правіць

Прыблізныя фракталы, знойдзеныя ў прыродзе, дэманструюць самападабенства ў пашыраных, але канчатковых дыяпазонах маштабу. Сувязь паміж фракталамі і лісцем, напрыклад, у цяперашні час выкарыстоўваецца, каб вызначыць, колькі вугляроду змяшчаецца ў дрэвах. [32] З’явы, якія маюць фрактальныя асаблівасці, уключаюць:

  •  
    Фрактальныя ўзоры крышталёў інею натуральным чынам сустракаюцца на халодным шкле
  •  
    Фрактальная мяжа басейна ў геаметрычнай аптычнай сістэме[33]
  •  
    Фрактал утвараецца пры расцягванні двух пакрытых клеем лістоў з акрылу
  •  
    Прабой высокага напружання ў блоку акрылавага шкла 4 in (100 мм) стварае фрактал фігура Ліхтэнберга
  •  
    Брокалі Romanesco паказвае самападобную форму, якая набліжаецца да натуральнага фрактала
  •  
    Фрактальныя ўзоры размарожвання на палярным Марсе. Узоры ўтвараюцца шляхам сублімацыі замарожанага CO2. Шырыня малюнка каля кіламетра.
  •  
    Слізевая цвіль Brefeldia maxima фрактальна расце на дрэве

Фракталы ў біялогіі клетак правіць

Фракталы часта з’яўляюцца ў свеце жывых арганізмаў, дзе яны ўзнікаюць у выніку працэсаў галінавання і іншых складаных патэрнаў. Ян Вонг і яго супрацоўнікі паказалі, што мігруючыя клеткі могуць утвараць фракталы шляхам кластарызацыі і разгалінавання. [34] Нервовыя клеткі функцыянуюць праз працэсы на паверхні клеткі, са з’явамі, якія ўзмацняюцца за кошт значнага павелічэння суадносін паверхні да аб’ёму. Як следства, нервовыя клеткі часта ўтвараюцца ў фрактальныя ўзоры. [35] Гэтыя працэсы маюць вырашальнае значэнне ў фізіялогіі клетак і розных паталогіях. [36]

Выяўлена таксама, што некалькі субклеткавых структур збіраюцца ў фракталы. Дыега Крапф паказаў, што праз працэсы разгалінавання актынавыя ніткі ў клетках чалавека збіраюцца ў фрактальныя ўзоры. Аналагічным чынам Маціас Вайс паказаў, што эндаплазматычная сетка мае фрактальныя асаблівасці. [37] Цяперашняе разуменне заключаецца ў тым, што фракталы ўсюдыісныя ў біялогіі клетак, ад бялкоў да арганэл і цэлых клетак.

У творчых працах правіць

З 1999 года больш за 10 навуковых груп правялі фрактальны аналіз больш за 50 карцін Джэксана Полака (1912—1956), якія былі створаны шляхам налівання фарбы непасрэдна на яго гарызантальныя палотны [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] У апошні час фрактальны аналіз быў выкарыстаны для дасягнення 93 % поспеху ў адрозненні сапраўдных твораў Полака ад імітацый. [51] Кагнітыўныя нейранавукоўцы паказалі, што фракталы Полака выклікаюць такое ж зніжэнне стрэсу ў назіральнікаў, як і фракталы, створаныя камп’ютарам, і фракталы прыроды. [52]

Дэкалькаманія, тэхніка, якую выкарыстоўваюць такія мастакі, як Макс Эрнст, можа ствараць фрактальныя ўзоры. [53] Яна ўключае ў сябе націсканне фарбы паміж дзвюма паверхнямі і іх раз’яднанне.

Кібернетык Рон Эглаш выказаў здагадку, што фрактальная геаметрыя і матэматыка з’яўляюцца распаўсюджанымі ў афрыканскім мастацтве, гульнях, варажбе, гандлі і архітэктуры. Круглыя дамы з’яўляюцца ў колах кругоў, прастакутныя — у прастакутніках з прастакутнікаў і г.д. Такія маштабаваныя ўзоры таксама можна сустрэць у афрыканскім тэкстылі, скульптуры, і нават у панкаўскай касе пад кукурузны радок. [54] [55] Хокі Сітунгкір таксама заўважыў падобныя ўласцівасці ў традыцыйным мастацтве Інданезіі, батыку і арнаментах, якія сустракаюцца ў традыцыйных дамах. [56] [57]

Этнаматэматык Рон Эглаш абмеркаваў запланаваную планіроўку горада Беніна з выкарыстаннем фракталаў у якасці асновы не толькі ў самім горадзе і вёсках, але нават у пакоях дамоў. Ён пракаментаваў: «Калі еўрапейцы ўпершыню прыехалі ў Афрыку, яны палічылі архітэктуру вельмі неарганізаванай і, такім чынам, прымітыўнай. Ім і ў галаву не прыходзіла, што афрыканцы, магчыма, выкарыстоўвалі такую форму матэматыкі, якую яны яшчэ нават не адкрылі». [58]

У інтэрв’ю Майкла Сільверблата ў 1996 годзе Дэвід Фостэр Уолес прызнаўся, што структура першага чарнавіка «Бясконцага жарту», якую ён даў свайму рэдактару Майклу Пітчу, была натхнёная фракталамі, у прыватнасці трохкутнікам Сярпінскага (ён жа сурвэтка Сярпінскага), але адрэдагаваны раман «больш падобны на аднабокую сурвэтку Сярпінскага». [59]

Некаторыя працы галандскага мастака Эшэра, такія як Circle Limit III, утрымліваюць фігуры, якія паўтараюцца да бясконцасці і становяцца ўсё меншымі і меншымі па меры набліжэння да краёў, у малюнку, які заўсёды будзе выглядаць аднолькава, калі яго павялічыць.

  •  
    Фрактал, які мадэлюе паверхню гары (анімацыя)
  •  
    3D рэкурсіўны малюнак
  •  
    Рэкурсіўны фрактальны малюнак - матылі
  •  
    Фрактальнае полымя

Фізіялагічныя рэакцыі правіць

Здаецца, людзі асабліва добра прыстасаваныя да апрацоўкі фрактальных патэрнаў са значэннямі D ад 1,3 да 1,5. [60] Калі людзі праглядаюць фрактальныя мадэлі са значэннямі D ад 1,3 да 1,5, гэта памяншае фізіялагічны стрэс. [61] [62]

Прыкладанні ў тэхніцы правіць

Іённы рух правіць

Калі двухмерныя фракталы паўтараюцца шмат разоў, перыметр фрактала павялічваецца да бясконцасці, але плошча ніколі не можа перавышаць пэўнае значэнне. Фрактал у трохмернай прасторы мае падобную ўласцвасць; такі фрактал можа мець бясконцую плошчу паверхні, але ніколі не перавышаць пэўны аб’ём. Гэта можа быць выкарыстана для максімальнай эфектыўнасці іённага руху пры выбары канструкцыі і матэрыялу электроннага эмітэра. Такім чынам можа быць дасягнута максімальная эфектыўнасць працэсу выкіду.

Зноскі

  1. ↑ а б в г д е ё ж з і Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. ↑ а б в Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. ↑ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. Thames and Hudson. ISBN 978-0-500-27693-8.
  4. ↑ а б в г д е ё Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. World Scientific. ISBN 978-981-02-0668-0.
  5. ↑ Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
  6. ↑ а б в Mandelbrot, Benoît B. (2004). Fractals and Chaos. Springer. ISBN 978-0-387-20158-0.
  7. ↑ Segal, S. L. "Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued". {{cite journal}}: Шаблон цытавання journal патрабуе |journal= (даведка)
  8. ↑ а б в г Edgar, Gerald (2004). Classics on Fractals.
  9. ↑ а б в г д Trochet, Holly. A History of Fractal Geometry(недаступная спасылка). MacTutor History of Mathematics (2009). Архівавана з першакрыніцы 4 лютага 2012. Праверана 20 красавіка 2022.
  10. ↑ Mandelbrot, Benoit. 24/7 Lecture on Fractals. 2006 Ig Nobel Awards. Improbable Research. Архівавана з першакрыніцы 8 красавіка 2022. Праверана 20 красавіка 2022.
  11. ↑ Mandelbrot, B. B.: The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York (1982); p. 15.
  12. ↑ Feder, Jens. Fractals. Springer Science & Business Media.
  13. ↑ Edgar, Gerald. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Science & Business Media.
  14. ↑ а б Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture. Birkhauser, Basel. DOI:10.1007/978-3-319-32426-5.
  15. ↑ а б в Albers, Donald J. (2008). Mathematical people : profiles and interviews. AK Peters. ISBN 978-1-56881-340-0.
  16. ↑ а б Gordon, Nigel (2000). Introducing fractal geometry. Icon. ISBN 978-1-84046-123-7.
  17. ↑ Mandelbrot, B. (1967). "How Long Is the Coast of Britain?": 636–638. {{cite journal}}: Шаблон цытавання journal патрабуе |journal= (даведка) Архіўная копія(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 19 кастрычніка 2021. Праверана 20 красавіка 2022.Архіўная копія(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 19 кастрычніка 2021. Праверана 20 красавіка 2022.
  18. ↑ Batty, Michael (April 4, 1985). "Fractals – Geometry Between Dimensions". {{cite journal}}: Шаблон цытавання journal патрабуе |journal= (даведка)
  19. ↑ Russ, John C. (1994). Fractal surfaces. Springer. p. 1. ISBN 978-0-306-44702-0.
  20. ↑ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling. p. 310. ISBN 978-1-4027-5796-9.
  21. ↑ kottke.org. 2009. Vol Libre, an amazing CG film from 1980. [online] Available at: http://kottke.org/09/07/vol-libre-an-amazing-cg-film-from-1980
  22. ↑ Karperien, Audrey (2004). Defining microglial morphology: Form, Function, and Fractal Dimension. Charles Sturt University. doi:10.13140/2.1.2815.9048.
  23. ↑ а б Peters, Edgar (1996). Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6.
  24. ↑ Spencer, John; Thomas, Michael S. C.; McClelland, James L. (2009). Toward a unified theory of development : connectionism and dynamic systems theory re-considered. Oxford/New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-530059-8.
  25. ↑ а б в Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). "MicroMod-an L-systems approach to neural modelling". In Sarker, Ruhul (рэд.). Workshop proceedings: the Sixth Australia-Japan Joint Workshop on Intelligent and Evolutionary Systems, University House, ANU. University of New South Wales. ISBN 978-0-7317-0505-4. OCLC 224846454. Праверана February 3, 2012. Event location: Canberra, Australia
  26. ↑ J. W. Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry. Finite subdivision rules. Conformal Geometry and Dynamics, vol. 5 (2001), pp. 153—196.
  27. ↑ J. W. Cannon, W. Floyd and W. Parry. Crystal growth, biological cell growth and geometry. Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics, pp. 65-82. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-3792-8, ISBN 978-981-02-3792-9.
  28. ↑ Brothers, Harlan J. (2007). "Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3". {{cite journal}}: Шаблон цытавання journal патрабуе |journal= (даведка)
  29. ↑ Fathallah-Shaykh, Hassan M. (2011). "Fractal Dimension of the Drosophila Circadian Clock". {{cite journal}}: Шаблон цытавання journal патрабуе |journal= (даведка)
  30. ↑ а б в Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  31. ↑ а б Hahn, Horst K.; Georg, Manfred (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  32. ↑ «Hunting the Hidden Dimensional». Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.
  33. ↑ Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (1999). Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation. Nature. Vol. 399. p. 315. Bibcode:1999Natur.399..315S. doi:10.1038/20573. S2CID 4361904.
  34. ↑ Leggett, Susan E.; Neronha, Zachary J.; Bhaskar, Dhananjay; Sim, Jea Yun; Perdikari, Theodora Myrto; Wong, Ian Y. (2019-08-27). "Motility-limited aggregation of mammary epithelial cells into fractal-like clusters". Proceedings of the National Academy of Sciences [англійская]. 116 (35): 17298–17306. Bibcode:2019PNAS..11617298L. doi:10.1073/pnas.1905958116. ISSN 0027-8424. PMC 6717304. PMID 31413194.
  35. ↑ Jelinek, Herbert F; Fernandez, Eduardo (June 1998). "Neurons and fractals: how reliable and useful are calculations of fractal dimensions?". Journal of Neuroscience Methods [англійская]. 81 (1–2): 9–18. doi:10.1016/S0165-0270(98)00021-1. PMID 9696304.
  36. ↑ Cross, Simon S. (1997). "Fractals in Pathology". The Journal of Pathology [англійская]. 182 (1): 1–8. doi:10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1<1::AID-PATH808>3.0.CO;2-B. ISSN 1096-9896. PMID 9227334.
  37. ↑ Speckner, Konstantin; Stadler, Lorenz; Weiss, Matthias (2018-07-09). "Anomalous dynamics of the endoplasmic reticulum network". Physical Review E [англійская]. 98 (1): 012406. Bibcode:2018PhRvE..98a2406S. doi:10.1103/PhysRevE.98.012406. ISSN 2470-0045. PMID 30110830.
  38. ↑ Taylor, R. P. "Fractal Analysis of Pollock's Drip Paintings". Nature. 399 (6735). Bibcode:1999Natur.399..422T. doi:10.1038/20833.
  39. ↑ Mureika, J. R.; Dyer, C. C.; Cupchik, G. C. "Multifractal Structure in Nonrepresentational Art". Physical Review E. 72 (4): 046101–1–15. Bibcode:2005PhRvE..72d6101M. doi:10.1103/PhysRevE.72.046101. PMID 16383462.
  40. ↑ Redies, C.; Hasenstein, J.; Denzler, J. "Fractal-Like Image Statistics in Visual Art: Similarity to Natural Scenes". Spatial Vision. 21 (1): 137–148. doi:10.1163/156856807782753921. PMID 18073055.
  41. ↑ Lee, S.; Olsen, S.; Gooch, B. "Simulating and Analyzing Jackson Pollock's Paintings". Journal of Mathematics and the Arts. 1 (2): 73–83. doi:10.1080/17513470701451253.
  42. ↑ Alvarez-Ramirez, J.; Ibarra-Valdez, C.; Rodriguez, E.; Dagdug, L. "1/f-Noise Structure in Pollock's Drip Paintings". Physica A. 387 (1): 281–295. Bibcode:2008PhyA..387..281A. doi:10.1016/j.physa.2007.08.047.
  43. ↑ Graham, D. J.; Field, D. J. "Variations in Intensity for Representative and Abstract Art, and for Art from Eastern and Western Hemispheres". Perception. 37 (9): 1341–1352. doi:10.1068/p5971. PMID 18986061.
  44. ↑ Alvarez-Ramirez, J.; Echeverria, J. C.; Rodriguez, E. "Performance of a high-dimensional R/S method for Hurst exponent estimation". Physica A. 387 (26): 6452–6462. Bibcode:2008PhyA..387.6452A. doi:10.1016/j.physa.2008.08.014.
  45. ↑ Coddington, J.; Elton, J.; Rockmore, D.; Wang, Y. "Multifractal Analysis and Authentication of Jackson Pollock Paintings". Proceedings of SPIE. 6810 (68100F): 1–12. Bibcode:2008SPIE.6810E..0FC. doi:10.1117/12.765015.
  46. ↑ Al-Ayyoub, M.; Irfan, M. T.; Stork, D. G. "Boosting Multi-Feature Visual Texture Classifiers for the Authentification of Jackson Pollock's Drip Paintings". SPIE Proceedings on Computer Vision and Image Analysis of Art II. 7869 (78690H): 78690H. Bibcode:2011SPIE.7869E..0HA. doi:10.1117/12.873142.
  47. ↑ Mureika, J. R.; Taylor, R. P. "The Abstract Expressionists and Les Automatistes: multi-fractal depth?". Signal Processing. 93 (3). doi:10.1016/j.sigpro.2012.05.002.
  48. ↑ Taylor, R. P. "Authenticating Pollock Paintings Using Fractal Geometry". Pattern Recognition Letters. 28 (6): 695–702. doi:10.1016/j.patrec.2006.08.012.
  49. ↑ Jones-Smith, K. "Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings". Nature. 444 (7119): E9–10. Bibcode:2006Natur.444E...9J. doi:10.1038/nature05398. PMID 17136047.
  50. ↑ Taylor, R. P. "Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings (Reply)". Nature. 444 (7119): E10–11. Bibcode:2006Natur.444E..10T. doi:10.1038/nature05399.
  51. ↑ Shamar, L. "What Makes a Pollock Pollock: A Machine Vision Approach". International Journal of Arts and Technology. 8: 1–10. doi:10.1504/IJART.2015.067389.
  52. ↑ Taylor, R. P.; Spehar, B.; Van Donkelaar, P.; Hagerhall, C. M. "Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals". Frontiers in Human Neuroscience. 5: 1–13. doi:10.3389/fnhum.2011.00060. PMC 3124832. PMID 21734876.
  53. ↑ Frame, Michael; and Mandelbrot, Benoît B.; A Panorama of Fractals and Their Uses Архівавана 23 снежня 2007.
  54. ↑ African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 3 студзеня 2018. Праверана 20 красавіка 2022.
  55. ↑ Nelson, Bryn; Sophisticated Mathematics Behind African Village Designs Fractal patterns use repetition on large, small scale, San Francisco Chronicle, Wednesday, February 23, 2009
  56. ↑ Situngkir, Hokky; Dahlan, Rolan (2009). Fisika batik: implementasi kreatif melalui sifat fraktal pada batik secara komputasional. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. ISBN 978-979-22-4484-7
  57. ↑ "Application maps out nation's batik story". October 6, 2015.
  58. ↑ Koutonin, Mawuna (March 18, 2016). «Story of cities #5: Benin City, the mighty medieval capital now lost without trace». Retrieved April 2, 2018.
  59. ↑ Wallace, David Foster. Bookworm on KCRW(недаступная спасылка). Kcrw.com (4 жніўня 2006). Архівавана з першакрыніцы 11 лістапада 2010. Праверана 20 красавіка 2022.
  60. ↑ Taylor, Richard P. (2016). The Fractal Geometry of the Brain. pp. 485–496.
  61. ↑ Taylor, Richard P. "Reduction of Physiological Stress Using Fractal Art and Architecture". Leonardo. 39 (3): 245–251. doi:10.1162/leon.2006.39.3.245.
  62. ↑ Далейшае абмеркаванне гэтага эфекту гл. у: Taylor, Richard P.; Spehar, Branka; Donkelaar, Paul Van. "Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals". Frontiers in Human Neuroscience. 5: 60. doi:10.3389/fnhum.2011.00060. PMID 21734876.
  63. ↑ Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (1999). "Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae". Fractals. 7 (1): 79–84. doi:10.1142/S0218348X99000098.
  64. ↑ Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (2012). "Fractal structures for low-resistance large area AlGaN/GaN power transistors". Proceedings of ISPSD: 341–344. doi:10.1109/ISPSD.2012.6229091. ISBN 978-1-4577-1596-9. S2CID 43053855.
  65. ↑ Review of Fractal Heat Exchangers (PDF) (16 красавіка 2016). — International Refrigeration and Air Conditioning Conference. Paper 1725.
  66. ↑ Chen, Yanguang (2011). "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions". PLOS ONE. 6 (9): e24791. arXiv:1104.4682. Bibcode:2011PLoSO...624791C. doi:10.1371/journal.pone.0024791. PMC 3176775. PMID 21949753.
  67. ↑ Applications(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 12 кастрычніка 2007. Праверана October 21, 2007.
  68. ↑ «Detecting 'life as we don’t know it' by fractal analysis»
  69. ↑ C.M. Song, S. Havlin, H.A. Makse (2005). "Self-similarity of complex networks". Nature. 433 (7024): 392–5. arXiv:cond-mat/0503078. Bibcode:2005Natur.433..392S. doi:10.1038/nature03248. PMID 15674285. S2CID 1985935.{{cite journal}}: Папярэджанні CS1: розныя назвы: authors list (link)
  70. ↑ Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). "Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging". Biophysical Journal. 85 (6): 4041–4046. Bibcode:2003BpJ....85.4041L. doi:10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704. PMID 14645092.
  71. ↑ Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). "Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder". Fractals. 16 (2): 103. doi:10.1142/S0218348X08003880.
  72. ↑ Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João V. B.; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). "Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice". Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.). 2 (1): 109–122. doi:10.2147/OPTH.S1579. PMC 2698675. PMID 19668394.
  73. ↑ Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (1989). "Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria". Mayo Clinic Proceedings. 64 (4): 409–414. doi:10.1016/s0025-6196(12)65730-9. PMID 2716356.
  74. ↑ Landini, Gabriel (2011). "Fractals in microscopy". Journal of Microscopy. 241 (1): 1–8. doi:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x. PMID 21118245. S2CID 40311727.
  75. ↑ Cheng, Qiuming (1997). "Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis". Mathematical Geology. 29 (7): 919–932. doi:10.1023/A:1022355723781. S2CID 118918429.
  76. ↑ Chen, Yanguang (2011). "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions". PLOS ONE. 6 (9): e24791. arXiv:1104.4682. Bibcode:2011PLoSO...624791C. doi:10.1371/journal.pone.0024791. PMC 3176775. PMID 21949753.
  77. ↑ Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (2006). "Fractal analysis of Mesoamerican pyramids". Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences. 10 (1): 105–122. PMID 16393505.
  78. ↑ Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (2005). "The Broken Past: Fractals in Archaeology". Journal of Archaeological Method and Theory. 12: 37–78. doi:10.1007/s10816-005-2396-6. S2CID 7481018.
  79. ↑ Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). "Multifractal characterization of urban residential land price in space and time". Applied Geography. 34: 161–170. doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016.
  80. ↑ Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A. (2009). "An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents" (PDF). Proceedings of the World Congress on Engineering 2009: 93–98. ISBN 978-988-17-0125-1.
  81. ↑ Bunde, A.; Havlin, S. (2009). "Fractal Geometry, A Brief Introduction to". Encyclopedia of Complexity and Systems Science. p. 3700. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_218. ISBN 978-0-387-75888-6.
  82. ↑ GPU internals.
  83. ↑ sony patents.
  84. ↑ description of swizzled and hybrid tiled swizzled textures.
  85. ↑ US8773422B1 - System, method, and computer program product for grouping linearly ordered primitives. Google Patents (4 снежня 2007). Праверана December 28, 2019.
  86. ↑ US20110227921A1 - Processing of 3D computer graphics data on multiple shading engines. Google Patents (15 снежня 2010). Праверана December 27, 2019.
  87. ↑ Johns Hopkins Turbulence Databases.
  88. ↑ Li, Y.; Perlman, E.; Wang, M.; Yang, y.; Meneveau, C.; Burns, R.; Chen, S.; Szalay, A.; Eyink, G. (2008). "A Public Turbulence Database Cluster and Applications to Study Lagrangian Evolution of Velocity Increments in Turbulence". Journal of Turbulence. 9: N31. arXiv:0804.1703. Bibcode:2008JTurb...9...31L. doi:10.1080/14685240802376389. S2CID 15768582.

Спасылкі правіць

Узята з "https://be.wikipedia.org/w/index.php?title=Фрактал&oldid=4668672"