Закон Біё — Савара — Лапласа

Закон Біё — Сава́ра — Лапла́са — фізічны закон для вызначэння вектара індукцыі магнітнага поля, якое спараджаецца пастаянным электрычным токам. Быў устаноўлены эксперыментальна ў 1820 годзе Біё і Саварам і сфармуляваны ў агульным выглядзе Лапласам. Лаплас паказаў таксама, што з дапамогай гэтага закона можна вылічыць магнітнае поле кропкавага рушачага зараду (калі лічыць рух адной зараджанай часціцы токам).

Электрадынаміка

Электрычнасць · Магнетызм Электрастатыка Закон Кулона Тэарэма Гауса Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Біё — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны паток Электрадынаміка Вектарны патэнцыял Электрычны дыполь Патэнцыялы Ліенара — Віхерта Сіла Лорэнца Ток зрушэння Уніпалярная індукцыя Ураўненні Максвела Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьванне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Правілы Кірхгофа Індуктыўнасць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасць Электрычная праводнасць Электрычнае супраціўленне Электрычны імпеданс Каварыянтная фармулёўка Тэнзар электрамагнітнага поля Тэнзар энергіі-імпульсу 4-патэнцыял 4-ток Вядомыя вучоныя Генры Кавендыш Майкл Фарадэй Андрэ Мары Ампер Густаў Роберт Кірхгоф Джэймс Клерк Максвел Генрых Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсан Роберт Эндрус Мілікен

Закон Біё — Савара — Лапласа іграе ў магнітастатыцы тую ж ролю, што і закон Кулона ў электрастатыцы. Закон Біё — Савара — Лапласа можна лічыць галоўным законам магнітастатыкі, атрымліваючы з яго астатнія яе вынікі.

У сучаснай фармулёўцы закон Біё — Савара — Лапласа часцей разглядаюць як вынік двух ураўненняў Максвела для магнітнага поля пры ўмове сталасці электрычнага поля, г.зн. ў сучаснай фармулёўцы ўраўненні Максвела выступаюць як больш фундаментальныя (перш за ўсё, хаця б таму, што формулу Біё — Савара — Лапласа нельга проста абагульніць на агульны выпадак палёў, якія залежаць ад часу).

Для току, які цячэ па контуру (тонкім правадніку)

Няхай пастаянны ток $I$ цячэ па контуру (правадніку) $\gamma$, які знаходзіцца ў вакууме, $\mathbf {r} _{0}$ — кропка, у якой трэба знайсці поле, тады індукцыя магнітнага поля ў гэтай кропцы выражаецца інтэгралам (у Міжнароднай сістэме адзінак (СІ))

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e_{r,r_{o}}} ]}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2}}},$

дзе квадратнымі дужкамі абазначаны вектарны здабытак,

$r$ — становішча кропак контуру $\gamma$,

$dr$ — вектар элемента контуру (ток цячэ ўздоўж яго);

$\mu _{0}$ — магнітная пастаянная;

$\mathbf {e_{r,r_{o}}}$ — адзінкавы вектар, накіраваны ад элемента контуру да кропкі назірання.

• У прынцыпе контур $\gamma$ можа мець разгалінаванні і ўяўляць сабой адвольную складаную сетку. У такім выпадку пад выразам, прыведзеным вышэй, трэба разумець суму па ўсіх галінах, складнік жа для кожнай галіны з'яўляецца інтэгралам прыведзенага вышэй віду (контур інтэгравання для кожнай галіны можа быць пры гэтым незамкнёным).

• У выпадку простага (неразгалінаванага) контуру (і пры выкананні ўмоў магнітастатычнага прыбліжэння, калі лічыцца, што зарады не назапашваюцца), ток $I$ аднолькавы на ўсіх участках контуру і можа быць вынесены за знак інтэграла. (Гэта справядліва і паасобку для кожнага неразгалінаванага ўчастка складанага ланцуга).

Калі ж узяць за пункт адліку кропку, у якой трэба знайсці вектар магнітнай індукцыі, то формула трохі спрашчаецца:

$d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}={\frac {I}{10^{7}}}{\frac {[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}},$

дзе ${\vec {r}}$ — вектар, які апісвае крывую правадніка з токам $I$,

$r$ — модуль ${\vec {r}}$,

$d{\vec {B}}$ — вектар магнітнай індукцыі, які ствараецца элементам правадніка $d{\vec {r}}$.

Напрамак $d\mathbf {B}$ перпендыкулярны плоскасці, у якой ляжаць вектары $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ і $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$. Кірунак вектара магнітнай індукцыі можна знайсці па правілу правага вінта: кірунак кручэння галоўкі вінта дае кірунак $d\mathbf {B}$, калі паступальны рух свярдзёлка адпавядае кірунку току ў элеменце. Модуль вектара $d\mathbf {B}$ вызначаецца выразам (у сістэме СІ)

$dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}}.$

Вектарны патэнцыял даецца інтэгралам (у сістэме СІ)

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Для размеркаваных токаў

Для выпадку, калі крыніцай магнітнага поля з'яўляюцца размеркаваныя токі, якія апісваюцца полем вектара шчыльнасці току j, формула закона Біё — Савара прымае выгляд (у сістэме СІ):

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},$

дзе j = j(r),

dV — элемент аб'ёму, а інтэграванне ажыццяўляецца па ўсёй прасторы (або па ўсіх яе абласцях, дзе j≠0),

r — адпавядае бягучай кропцы пры інтэграванні (становішчу элемента dV).

Вектарны патэнцыял:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Вынікі

Хоць у сучасным падыходзе, як правіла, сам закон Біё — Савара выступае вынікам ураўненняў Максвела, гістарычна ён быў адкрыты да ўраўненняў Максвела. Таму ўраўненні Максвела для выпадку магнітастатыкі можна разглядаць як вынік закона Біё — Савара. Чыста фармальна ў выпадку магнітастатыкі абодва падыходы можна лічыць раўнапраўнымі: што з іх лічыць зыходнымі палажэннямі (аксіёмамі), а што вынікамі (вывадамі), залежыць ад выбару аксіяматызацыі, якая ў выпадку магнітастатыкі можа быць той ці іншай з роўным фармальным правам і практычна роўнай зручнасцю.

Асноўнымі вынікамі закона Біё — Савара з'яўляюцца (у згаданым вышэй сэнсе) ураўненні Максвела для выпадку магнітастатыкі, якія ў інтэгральнай форме маюць від

$\oint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0$

— варыянт тэарэмы Гауса для магнітнага поля (гэта ўраўненне застаецца ў электрадынаміцы нязменным і для агульнага выпадку)

і

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}I=\mu _{0}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

— ураўненне для цыркуляцыі магнітнага поля ў магнітастатыцы (тут прыведзена для выпадку вакууму, у сістэме СІ). Гэтая формула (і яе вывад з закона Біё — Савара) ёсць змест тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля.

Дыферэнцыяльная форма гэтых ураўненняў:

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0,$

$\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,$

дзе j — шчыльнасць току (запіс у сістэме СІ, у гаусавай сістэме адзінак канстанта замест $\mu _{0}$ прымае выгляд ${\frac {4\pi }{c}}$).

Вывад з ураўненняў Максвела

Закон Біё — Савара — Лапласа можна атрымаць з ураўненняў Максвела для стацыянарнага поля. Пры гэтым вытворныя па часе роўныя 0, так што ўраўненні для поля ў вакууме прымуць выгляд (у сістэме СГС):

$\operatorname {rot} \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} ,$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0,$

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =0,$

$\operatorname {div} \mathbf {E} =4\pi \rho ,$

дзе $\mathbf {j}$ — шчыльнасць току ў прасторы. Пры гэтым электрычнае і магнітнае палі аказваюцца незалежнымі.

Скарыстаем вектарны патэнцыял для магнітнага поля (у сістэме СГС):

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A} .$

Калібравальная інварыянтнасць ураўненняў дазваляе накласці на вектарны патэнцыял адну дадатковую ўмову:

$\operatorname {div} \mathbf {A} =0.$

Раскрываючы двайны ротар па формуле вектарнага аналізу, атрымаем для вектарнага патэнцыялу ўраўненне тыпу ўраўнення Пуасона:

$\Delta \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} .$

Яго частковае рашэнне даецца інтэгралам, аналагічным ньютанаваму патэнцыялу:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {1}{c}}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV.$

Тады магнітнае поле вызначаецца інтэгралам (у сістэме СГС)

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\int \left[\nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV=$

$={\frac {1}{c}}\int \limits _{\gamma }{\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV$

аналагічным па форме закону Біё — Савара — Лапласа. Гэту адпаведнасць можна зрабіць дакладнаю, калі скарыстаць абагульненыя функцыі і запісаць прасторавую шчыльнасць току, якая адпавядае вітку з токам ў пустой прасторы. Пераходзячы ад інтэгравання па ўсёй прасторы да паўторнага інтэграла ўздоўж вітка і па артаганальных яму плоскасцях і ўлічваючы, што

$\mathbf {j} dV=I\mathbf {dl} ,$

атрымаем закон Біё — Савара — Лапласа для поля вітка з токам.

Прымяненне

Няхай трэба знайсці велічыню магнітнай індукцыі ў цэнтры вельмі тонкай (усе віткі выкладзеныя паблізу адной акружнасці) катушкі з N віткамі, па якой цячэ ток $I$. Знойдзем магнітную індукцыю, створаную адным вітком катушкі. З формулы

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}$

атрымаем модуль магнітнай індукцыі як

$dB={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Idr\sin \alpha }{r^{2}}},$

дзе $r$ — радыус катушкі (у дадзеным выпадку — канстанта), $\alpha$ — вугал паміж вектарам ${\vec {r}}$ (радыус-вектарам з цэнтра вітка да элемента вітка) і $d{\vec {r}}$ (элементам вітка) — роўны $90^{\circ }$.

Праінтэграваўшы абедзве часткі, атрымліваем

$B={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I}{r^{2}}}\int dr,$

дзе $\int dr=2\pi r$ — сума даўжынь усіх элементаў правадніка вітка, у дадзеным выпадку — даўжыня акружнасці.

Тады

$B=\mu _{0}{\frac {I}{2r}}.$

Раз катушка мае N віткоў, то сумарны модуль магнітнай індукцыі роўны

$B=\mu _{0}{\frac {IN}{2r}}.$

Літаратура

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7