Размеркаванне імавернасцей

Размеркава́нне імаве́рнасцей — закон, які ставіць у адпаведнасць кожнаму інтэрвалу значэнняў імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні патрапіць у гэты інтэрвал.

Размеркаванне імавернасцей — асобны выпадак больш агульнага паняцця імавернаснай меры: функцыі, якая ставіць у адпаведнасць вымерным мноствам з вымернай прасторы імавернасці згодна з аксіёмамі Калмагорава.

Азначэнне

Размеркаваннем выпадковай велічыні $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ называецца імавернасная мера $P_{\xi }:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў $B\subset \mathbb {R}$ з дапамогай роўнасці^:70 $P_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P(\xi ^{-1}(B)).$

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Функцыя размеркавання

Асноўны артыкул: Функцыя размеркавання

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя $F_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, якая вызначаецца праз роўнасць $F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .$

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання^:70-71.

Класіфікацыя размеркаванняў

Размеркаванні імавернасцей падзяляюцца паводле характарыстык іх функцый размеркавання на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя^:77-78.

Дыскрэтнае размеркаванне

Прыклад функцыі імавернасці і функцыі размеркавання для дыскрэтнага размеркавання

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца дыскрэтным, калі яна прымае канечную або злічоную колькасць значэнняў.

Для дыскрэтнага размеркавання існуе так званая функцыя імавернасці $p_{\xi }$, якая ставіць у адпаведнасць кожнаму значэнню $x\in \mathbb {R}$ імавернасць таго, што выпадковая велічыня $\xi$ прыме гэтае значэнне:

$$p_{\xi }(x)=P(\xi =x)$$

Калі колькасць значэнняў невялікая, дыскрэтнае размеркаванне можна задаць з дапамогай табліцы

Значэнні $\xi$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$	$\dots$
$P(\xi =x_{k})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{n}$	$\dots$

, дзе $p_{k}>0$ і $\sum _{k}p_{k}=1$.

Функцыя размеркавання мае выгляд $F_{\xi }(x)=P(\xi <x)=\sum _{k:x_{k}<x}p_{k}$.

Прыклады дыскрэтных размеркаванняў:

• Звыроднае размеркаванне
• Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне
• Размеркаванне Бэрнулі
• Біномнае размеркаванне
• Размеркаванне Пуасона
• Геаметрычнае размеркаванне
• Адмоўнае біномнае размеркаванне
• Гіпергеаметрычнае размеркаванне

Абсалютна непарыўнае размеркаванне

Прыклад шчыльнасці імавернасці і функцыі размеркавання для абсалютна непарыўнага размеркавання

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца абсалютна непарыўным, калі існуе неадмоўная функцыя $f_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, для якой $\int _{\mathbb {R} }f_{\xi }(t)dt=1$ і для кожнага барэлеўскага мноства $B\in \mathbb {R}$ праўдзіцца $P(\xi \in B)=\int _{B}f_{\xi }(t)dt$. Такая функцыя $f_{\xi }$ завецца шчыльнасцю імавернасці выпадковай велічыні $\xi$.

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання мае выгляд $F_{\xi }(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{\xi }(t)dt$. Пры гэтым амаль усюды мае месца роўнасць $F_{\xi }'(x)=f_{\xi }(x)$, то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання.

Прыклады абсалютна непарыўных размеркаванняў:

• Раўнамернае непарыўнае размеркаванне
• Нармальнае размеркаванне
• Гама-размеркаванне
• Размеркаванне Эрланга
• Размеркаванне Кашы

Сінгулярнае размеркаванне

Асноўны артыкул: Сінгулярнае размеркаванне

Прыклад сінгулярнай функцыі размеркавання — фукнцыя Кантара або «кантарава лесвіца»

Сінгулярным называецца размеркаванне, функцыя размеркавання $F$ якога непарыўная, але яе пункты росту маюць лебегаву меру нуль. Такім чынам, вытворная функцыі $F$ амаль усюды роўная нулю. Прыклад такой функцыі — функцыя Кантара.

Змешанае размеркаванне

Змешанымі завуцца размеркаванні, якія не адносяцца ні да дыскрэтных, ні да непарыўных, ні да сінгулярных размеркаванняў. Іх функцыі размеркавання заўсёды можна прадставіць як выпуклую камбінацыю дыскрэтнай, непарыўнай і сінгулярнай функцыі размеркавання^:80:

$$F(x)=a_{1}F_{1}(x)+a_{2}F_{2}(x)+a_{3}F_{3}(x),$$

дзе $a_{1},a_{2},a_{3}\in [0,1]$, $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1$, $F_{1}$ — дыскрэтная, $F_{2}$ — абсалютна непарыўная, $F_{3}$ — сінгулярная функцыі размеркавання.

Гл. таксама

• Сінгулярнае размеркаванне
• Умоўнае размеркаванне імавернасцей

Літаратура

• Размеркаванне імавернасцей // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 13: Праміле — Рэлаксін / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2001. — Т. 13. С. 261.