0 (лік)

0 (нуль ад лац.: nullus — ніякі) — цэлы лік, які раздзяляе на лікавай прамой дадатныя і адмоўныя цэлыя лікі.

Асноўныя ўласцівасці нуля

• Нуль не мае знака.
• Любы лік пры складанні з нулём не мяняецца.
• Пры адніманні нуля з любога ліку атрымліваецца той жа лік.
• Дамнажэнне любога ліку на нуль дае нуль.
• Пры дзяленні нуля на любы лік, акрамя самога 0, атрымліваецца нуль. Дзяленне нуля на нуль прыводзіць да нявызначанасці $(0/0)$.
• Нуль з’яўляецца цотным лікам, бо пры дзяленні на 2 атрымліваецца цэлы лік.
• Дзяленне на нуль немагчыма ў прасторы камплексных лікаў. На самай справе, калі абазначыць ${\frac {a}{0}}=b$, то па азначэнні дзялення фармальна павінна быць $b\cdot 0=a$, у той час як выраз $b\cdot 0$, пры любым камплексным $b$, ровен нулю. Іншымі словамі, для нуля не існуе адваротнага ліку ў прасторы комплексных лікаў. Але гэта магчыма на пашыранай камплекснай плоскасці.
• Пры ўзвядзенні любога ліку, акрамя нуля, ў нулявую ступень па азначэнні атрымліваецца 1: $n^{0}=1$, пры $n\neq 0$.

Абагульненні

Аналаг нуля можна ўвесці ў любым мностве, на якім вызначана аперацыя складання; у вышэйшай алгебры такі элемент называецца нейтральным элементам (або, у залежнасці ад умоўнай назвы групавой аперацыі, адытыўным нулём, ці мультыплікатыўнай адзінкай). Часцей за ўсё выкарыстоўваецца рэчаісны нуль, г.зн. нуль у кантэксце мноства рэчаісных лікаў. Іншыя распаўсюджаныя варыяцыі:

• Нулявая матрыца
• Нуль-вектар
• Пункт (як нульмерны аб'ект, ці нульмерная прастора)
• Нулявы мнагачлен

Адносіны да натуральных лікаў

Існуюць два падыходы да вызначэння натуральных лікаў — адны аўтары адносяць нуль да натуральных лікаў, іншыя — не. У краінах былога СССР (у тым ліку, і Беларусі) у школьных праграмах па матэматыцы не прынята адносіць нуль да натуральных лікаў (бо натуральнымі лікамі там азначаюцца як лікі, якія выкарыстоўваюцца пры лічэнні, а 0 пры лічэнні не выкарыстоўваецца), хоць гэта абцяжарвае некаторыя фармулёўкі (напрыклад, прыходзіцца адрозніваць дзяленне з астачай і дзяленне без астачы).

Ужыванне

У матэматыцы

• Нулявы лік Фібаначы, нулявы лік Мерсена, нулявы трохвугольны лік і г. д.
• 0! (Нуль фактарыял) вызначаецца як 1.
• Становішчы 0 і 360 градусаў супадаюць
• Нуль функцыі

Нявызначанасці з удзелам нуля

У матэматычным аналізе магчыма 7 нявызначаных сітуацый, у 4 з якіх фармальна прысутнічае нуль (ён абазначае бесканечна малую велічыню):

$\left({\frac {0}{0}}\right)$

$(0^{0})$

$(\infty ^{0})$

$(0\cdot \infty )$

І цалкам вызначаная сітуацыя, калі разглядаецца граніца бесканечна малой велічыні (справа ці злева):

• Правая граніца: $\lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$   ці   $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}0+0}]{}}+\infty$
• Левая граніца: $\lim _{x\to 0-0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$   ці   $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}0-0}]{}}-\infty$

У фізіцы

• Абсалютны нуль тэмпературы.

У іншых галінах

• ASCII — код кіруючага сімвала NULL.
• Нулявога года ў юліянскім і Грыгарыянскім календары няма, гэтак жа, як няма нулявога дня ў годзе і нулявога дня ў месяцы. Аднак існуе астранамічнае летазлічэнне ^be_en, у якім нулявы год ёсць.
• Нулявы кіламетр.

Гісторыя

Вавілонскія матэматыкі выкарыстоўвалі асобны клінапісны значок для шасцідзесятковага нуля, пачынаючы прыкладна з 300 года да н.э., а іх настаўнікі-шумеры, верагодна, рабілі гэта яшчэ раней.

Своеасаблівыя знакі нуля выкарыстоўвалі яшчэ да нашай эры старажытныя мая і іх суседзі ў Цэнтральнай Амерыцы (старажытныя мая абазначалі нуль стылізаваным малюнкам ракавінкі).

У Старажытнай Грэцыі лік 0 быў невядомы. У астранамічных табліцах Клаўдзія Пталемея пустыя клеткі пазначаліся сімвалам ο (літара о мікрон, ад стар.-грэч.: ονδεν — нічога); не выключана, што гэтае абазначэнне паўплывала на з’яўленне нуля, аднак большасць гісторыкаў прызнае, што дзесятковы нуль вынайшлі індыйскія матэматыкі. Без нуля быў бы немагчымы вынайдзены ў Індыі дзесятковы пазіцыйны запіс лікаў. Першы знак нуля знойдзены ў індыйскім запісе ад 876 г., ён мае выгляд прывычнага нам кружочка.

У Еўропе доўгі час нуль лічыўся ўмоўным знакам і не прызнаваўся лікам. Нават у XVII стагоддзі Валіс пісаў: «Нуль не ёсць лік». У арыфметычных працах адмоўны лік тлумачыўся як доўг, а нуль — як сітуацыя поўнага спусташэння. Поўнаму ўраўнаванню яго ў правах з іншымі лікамі асабліва спрыялі працы Леанарда Эйлера.

Гл. таксама

• -0 і +0 — фіктыўныя паняцці ў матэматычным аналізе.
• Машынны нуль
• Лічба 0
• Адмоўны лік
• Дзельнік нуля
• Лік 1 — мультыплікатыўная адзінка

Спасылкі

• История нуля
• Почему нельзя делить на ноль?
• Символика чисел (нуль) /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
• О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
• Свойства числа ноль (руск.)